\subsection{圆的内接四边形}\label{subsec:czjh2-7-6}
\begin{enhancedline}

我们知道，圆的内接四边形的四个顶点都在同一个圆上，所以它的四个内角都是圆周角。
这样，我们就可以利用圆周角定理，来研究圆的内接四边形的角。

\begin{wrapfigure}[9]{r}{4.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-27}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-27}
\end{wrapfigure}

如图 \ref{fig:czjh2-7-27}， 四边形 $ABCD$ 是 $\yuan\,O$ 的内接四边形。

$\because$ \quad $\yuanhu{BAD}$ 和 $\yuanhu{BCD}$ 所对的圆心角的和是周角。

$\therefore$ \quad $\angle A + \angle BCD = 180^\circ$。

同理 $\angle B + \angle D = 180^\circ$。

如果延长 $BC$ 到 $E$，那么 $\angle BCD + \angle DCE = 180^\circ$，所以

$\angle A = \angle DCE$。

$\angle A$ 是与 $\angle DCE$ 相邻的内角 $\angle DCB$ 的对角（简称为 $\angle DCE$ 的内对角），
于是我们得到圆的内接四边形的性质定理。

\begin{dingli}[定理]
    圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
\end{dingli}


\liti 如图 \ref{fig:czjh2-7-28}， $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 相交于 $A$、$B$ 两点，
经过点 $A$ 的直线 $CD$ 与 $\yuan\,O_1$ 交于点 $C$，与 $\yuan\,O_2$ 交于点 $D$。
经过点 $B$ 的直线 $EF$， 与 $\yuan\,O_1$ 交于点 $E$，与 $\yuan\,O_2$ 交于点 $F$。

求证： $CE \pingxing DF$。

\zhengming 连结 $AB$。

$\because$ \quad $ABEC$ 是 $\yuan\,O_1$ 的内接四边形，

$\therefore$ \quad $\angle BAD = \angle E$。

又 $\because$ \quad $ADFB$ 是 $\yuan\,O_2$ 的内接四边形，

$\therefore$ \quad $\angle BAD + \angle F = 180^\circ$。

$\therefore$ \quad $\angle E + \angle F = 180^\circ$。

$\therefore$ \quad $CD \pxqdy DF$。


$\therefore$ \quad $AB \cdot AC = AE \cdot AD$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-28}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-28}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec6-lx1-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{求证：圆内接平行四边形是矩形。}

\xiaoti{如图，经过圆外一点 $P$ 的两条直线与 $\yuan\,O$ 相交于 $A$、$B$ 和 $C$、$D$ 四点，
    在图中有几对相似三角形？为什么？
}

\end{lianxi}


圆的内接四边形的性质定理有下面的逆定理:

\begin{dingli}[定理]
    如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。
\end{dingli}

已知：四边形 $ABCD$ 中， $\angle B + \angle D = 180^\circ$。

求证：四边形 $ABCD$ 内接于圆。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-29-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-29-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-29}
\end{figure}

分析：要证明四边形 $ABCD$ 内接于圆，就是要证明 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点在同一个圆上。
因为 $A$、$B$、$C$ 三点不在同一直线上，可以确定一个圆，
所以只要证明第四点 $D$ 也在这个圆上就可以了。
但直接证明点 $D$ 在圆上比较困难。现在我们采用一种间接证明的方法，
就是假设点 $D$ 不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，
这说明假设点 $D$ 不在圆上是错误的，从而证明点 $D$ 在圆上。

\zhengming 经过四边形三个顶点 $A$、$B$、$C$ 作 $\yuan\,O$。

假设点 $D$ 不在圆上，那么只有两种情况：（1）点 $D$ 在圆外； （2）点 $D$ 在圆内。

（1）所设点 $D$ 在圆外（图 \ref{fig:czjh2-7-29} 甲）。连结 $BD$ 交 $\yuan\,O$ 于点 $D'$。连结 $AD'$、$CD'$。

$\because$ \quad $\angle AD'B$、 $BD'C$ 分别是 $\triangle AD'D$、 $CD'D$ 的外角，

$\therefore$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle AD'B > \angle ADB$， \\
    $\angle BD'C > \angle BDC$。
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad $\angle AD'B + \angle BD'C > \angle ADB + \angle BDC$，

即 \quad $\angle AD'C > \angle ADC$。

又 $\because$ \quad $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$，

$\therefore$ \quad $\angle AD'C + \angle ABC > 180^\circ$。

这与圆内接四边形性质定理矛盾。

所以点 $D$ 不能在圆外。

（2） 同 （1） 类似可证明点 $D$ 不能在圆内（图 \ref{fig:czjh2-7-29} 乙）。

$\therefore$ \quad 点 $D$ 在 $\yuan\,O$ 上，

即四边形 $ABCD$ 是 $\yuan\,O$ 的内接四边形。


这个定理的证明，不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反（相排斥）的假设，
然后推导出和已经证明的定理或公理、定义、题设等相矛盾的结果，
这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，
这种间接证明命题的方法叫做\zhongdian{反证法}。

用反证法证明命题一般有下面三个步骤：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。



\liti 求证：圆的两条相交弦（直径除外）不能互相平分。

已知：如图 \ref{fig:czjh2-7-30}，弦 $AB$、$OD$ 相交于点 $P$。

求证：$AB$、$CD$ 不能互相平分。

证明：用反证法。

假设 $AB$ 与 $CD$ 互相平分。

因为 $AB$、$CD$ 不是直径，所以点 $P$ 与 $O$ 不重合，连结 $OP$。

$\because$ \quad $AP = PB$，

$\therefore$ \quad $OP \perp AB$。

同理 $OP \perp CD$。

这就是说过点 $P$ 有两条直线 $AB$、$CD$ 都垂直于 $OP$，
这与过一点只有一条直线与已知直线垂直相矛盾。

所以 $AB$ 和 $CD$ 不能互相平分。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-30}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-30}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-31}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-31}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti \zhongdian{如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，
    那么这两个三角形有公共的外接圆。
}

已知： 如图 \ref{fig:czjh2-7-31}， $\angle C$、$\angle D$ 在 $AB$ 同侧， $\angle C = \angle D$。

求证： $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 有公共外接圆。

证明：用反证法。

假设 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 没有公共外接圆，
即  $A$、$B$、$C$、$D$ 四点不在同一个圆上。

过 $A$、$B$、$C$ 三点作 $\yuan\,O$， 则点 $D$ 不在 $\yuan\,O$ 上。
同 7.5 节例 2 的证明一样可得，
$$ \angle ADB \neq \angle ACB \juhao $$

这与题设相矛盾。

$\therefore$ \quad  $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 有公共外接圆。



\begin{lianxi}

\xiaoti{按照图 \ref{fig:czjh2-7-29} 乙，证明定理。}

\xiaoti{否定下列各结论，并写出由此可能出现的情况：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$a = b$；} & \xxt{$\angle A > 60^\circ$；} & \xxt{$AB \pingxing CD$；} \\
        \xxt{点 $A$ 在 $\yuan\,O$ 上；} &  \xxt{点 $A$ 在直线 $a$ 上。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{已知：如图， $\pxsbx ABCD$ 中，过点 $A$、$B$ 的圆与 $AD$、$BC$ 分别交于点 $E$、$F$。
    求证：$C$、$D$、$E$、$F$ 四点在同一个圆上。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec6-lx2-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec6-lx2-04}
        \caption*{（第 4 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{已知：如图，$BE$ 和 $CF$ 是 $\triangle ABC$ 的高。
    求证：$F$、$B$、$C$、$E$ 四点在同一个圆上。
}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

